«Soumets toujours tout au doute ! » Descartes

La mathématique est la science qui étudie par le moyen du raisonnement déductif les propriétés d'êtres abstraits (nombres, figures géométriques, fonctions, espaces, etc.) ainsi que les relations qui s'établissent entre eux [Larousse 2007]. Elle exclut toute incertitude, toute inexactitude.

Quitte à se répéter, une des causes de l'attrait et de fascination que ces problèmes célèbres de mathématiques exercent sur les mathématiciens tient à la fois à la simplicité de leur énoncé et à l'échec de leur résolution depuis un temps assez long. Une vérité scientifique ne s'impose pas de force. Elle se démontre, certes, jusqu'à un certain point, par le raisonnement, mais elle se prouve surtout, et de la façon la plus convaincante, par l'expérience. La notion de démonstration mathématique n'apparaît qu'avec Thalès, un mathématicien ou géomètre grec.

Comment s'assurer de la validité d'un résultat mathématique? «En écrivant sa démonstration !» répondent, depuis plus de 2.500 ans, les mathématiciens. Cette certitude est difficile à obtenir en pratique. Les démonstrations sont ces raisons certaines et évidentes.

Le problème des quatre couleurs

Quel est le nombre minimum de couleurs qu'il faut utiliser pour colorier une carte de géographie sans que deux pays voisins aient la même couleur? Posée en 1852, les réponses étaient de sept, cinq et quatre couleurs [1].

La question n'a reçu de réponse qu'en 1976, lorsque Kenneth Appel et Wolfgang Haken montrèrent par ordinateur que quatre couleurs suffisent à colorier une telle carte. Georges Gonthier et Benjamin Werner, deux chercheurs, viennent de publier la démonstration rigoureuse de ce « théorème des quatre couleurs ». Personne ne doutait de la véracité de ce résultat et le démontrer n'apporte aucune compréhension supplémentaire, ni aucune application concrète.

C'est un accomplissement dans l'histoire des mathématiques commencée il y a plus de deux mille cinq cents ans lorsque les savants antiques ont eu l'ambition de créer des raisonnements parfaits et exempts de toute intuition.

Les mathématiques sont le royaume de la certitude, elles accompagnent un résultat de sa démonstration.

La conjecture de Kepler

On appelle conjecture un résultat mathématique pressenti vrai mais non encore démontré. La conjecture est un problème purement géométrique, posé par Kepler aux environs de 1602, soit plus de 400 ans [2]. Elle s'énonce comme suit: « La façon la plus compacte d'entasser les sphères est de les empiler, comme les oranges d'un épicier, en pyramide, chaque sphère d'une couche reposant sur trois autres de la couche inférieure ». Le problème est qu'il n'est pas facile de vérifier un tel raisonnement. Des experts viennent de valider la démonstration par ordinateur de Thomas Hales de l'université de Princeton aux USA. En 1900, le grand mathématicien David Hilbert a présenté ce problème comme l'un des grands défis du XXe siècle.

Le théorème de Fermat, 1637

Selon Kurt Gödel, un mathématicien, il existe des problèmes relativement simples que les mathématiques ne sauraient trancher. La formulation algébrique de l'équation de Fermat est simple [3, p.128]. Existe-t-il des entiers naturels X, Y et Z et « n » un exposant naturel tel que l'équation Xn + Yn = Zn soit vraie? Le théorème de Pierre de Fermat est sans doute le problème le plus célèbre de l'histoire des mathématiques. Il y était énoncé depuis plus de trois siècles. Il reste toujours une conjecture. Aucune démonstration analytique n'a été proposée, seulement des confirmations du résultat par informatique sont données de temps en temps. On a pressenti qu'il n'existe pas de solutions pour cette équation hormis la solution élémentaire X = Y = Z = 0. Ce type d'équations sont appelées « diophantiennes ». Toutes les tentatives de démonstration menées par les plus brillants esprits que comptent les mathématiques se sont soldées par des échecs. Une interprétation est que : peut-on diviser un segment en somme de deux segments tel que la somme de leur longueur soit la première longueur? La réponse est oui. Peut-on diviser un carré en somme de deux carrés tel que la somme de leur surface soit égale à la surface du premier carré? La réponse est encore affirmative. Si par exemple le premier carré est de côté égal à 5, il existe deux carrés de côté 3 et 4, tel que leur somme des surfaces est égale à la surface du premier carré. En effet, 52 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Par contre, un cube n'est jamais la somme de deux cubes dont la somme des volumes est égale au premier volume. La difficulté de la preuve est que pour tout entier « n », il faut déterminer le triplet X, Y et Z qui vérifie cette équation. Par l'emploi de la machine, l'ordinateur, il est montré que le théorème de Fermat est vrai pour n = 125.000.

Conclusion

Il est vrai, la mathématique se fait avec la tête. La mathématique contribue à une œuvre de clarté. Croire que la réussite en mathématiques est davantage une question d'intelligence ou de talent que d'effort est faux. Le niveau de performance n'est pas un indicateur d'intelligence. L'intelligence n'est pas une valeur fixée mais un potentiel à développer. « Entre toutes les passions de l'esprit humain, l'une des plus violentes, c'est le désir de savoir», disait Bossuet.

*Universitaire

Références

1. Xavier Muller. Vérité mathématique. L'ordinateur aura bientôt le dernier mot. Science & Vie - NÚ1056- Septembre 2005, pp. 90-91.

2. Xavier Muller. Conjecture de Kepler. Elle a été démontrée ou presque. Science & Vie - NÚ910- Décembre 2003, pp.130-133.

3. Ali Derbala. Cours d'algèbre supérieure, SEM 330. Chapitre 10 : Notions d'équations diophantiennes.