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Des résultats de mathématiques supérieures ancienne et contemporaine

par Ali Derbala*

«Si on commence avec des certitudes, on finit avec des doutes. Si on commence avec des doutes, on finit avec des certitudes». Francis Bacon

L'inconnu, cette chose que les mathématiques permettent de réduire calmement par le calcul, était un titre de gloire et la plus belle des épitaphes. Vers 1600, Prague, sous Rudolf II, connaît ses derniers feux de capitale européenne. C'était l'heure des sciences exactes que ce prince protège, selon sa légende, avec une munificence fantasque. Kepler et Tycho de Brahé logeaient au château. Jan Jessenius disséquait à l'Université Charles, Jifi Melantrich imprimait les premiers beaux livres tchèques. Jan Amos Komansky, dit Comenius, le père de la pédagogie moderne décède à Naarden en Hollande [1, pp.25-26].

La mathématique, une science exacte

Les vérités mathématiques dérivent d'un petit nombre de propositions évidentes par une chaîne de raisonnements impeccables. Il y a plusieurs sortes d'hypothèses ; que les unes sont vérifiables et qu'une fois confirmées par l'expérience, elles deviennent des vérités fécondes ; que les autres, sans pouvoir nous induire en erreur, peuvent nous être utiles en fixant notre pensée, que d'autres enfin ne sont des hypothèses qu'en apparence et se réduisent à des définitions ou à des conventions déguisées. Ces dernières se rencontrent surtout dans les mathématiques et dans les sciences qui y touchent. L'induction mathématique ou la démonstration par récurrence n'est que l'affirmation d'une propriété de l'esprit lui-même. Les mathématiques peuvent donc, comme les autres sciences, procéder du particulier au général. Les mathématiques semblent servir constamment d'alibi pour affirmer ou prétendre que nous avons des idées innées, qu'il existe une activité a priori de notre esprit, des jugements synthétiques a priori, etc. En effet, on conçoit qu'un esprit qui aurait puissance pour percevoir d'un seul coup l'ensemble des vérités mathématiques, qui ne nous sont pas forcément connues, mais toutes les vérités possibles, pourrait aussi les déduire régulièrement et comme machinalement de quelques principes combinés par une méthode uniforme; alors plus d'obstacles [2].

Evolution temporelle de la mathématique

La musique, les mathématiques et le langage furent inventés à l'époque des héros tout comme l'astrologie [3, p.170]. Les anciens, qui considéraient les étoiles et les planètes comme les régulateurs de la vie sur terre, définirent naturellement les premières mesures mathématiques du monde physique en références aux corps célestes, ce qui revient à dire, spirituels. Les mathématiques, à l'origine, n'étaient pas holistiques, dans le sens qu'elles prenaient en compte la taille, la forme et le mouvement de la Terre et son rapport aux corps célestes, elles étaient aussi l'expression d'un élan spirituel [3, p.218]. Orphée avait inventé les nombres [3, p.228]. Le système numérique mystique tire ses origines des Egyptiens. Leur compréhension pointue des mathématiques est présente dans leur art [3, p.259]. Hypathie, fille d'un grand philosophe et mathématicien, fut instruite en philosophie, en mathématiques, en géométrie et en astronomie [3, p.363]. Son corps est un parfait vaisseau pour son esprit brillant. Les scientifiques reconnaissent que «pi», le nombre d'or ou la suite de Fibonacci, sont des constantes universelles qui décrivent des formes complexes aussi bien en astronomie, en musique ou en physique [3, p.260]. Pythagore naquit en Grèce, sur la prospère île de Samos, aux environs de 575 av J.-C., au moment même où l'on posait les premiers blocs de marbre de l'Acropole d'Athènes [3, p.287]. Luca Pacioli, un mathématicien et hermétiste, enseignant la «divine proportion» à Léonard de Vinci, fut aussi le premier à écrire sur les formules magiques derrière le pentagramme vénusien [3, p.440].

Les résultats mathématiques au vingtième siècle, une liste non exhaustive

Le rationnel est arbitraire. A Vienne, en 1931, K. Godel a démontré que certaines démonstrations étaient a priori impossibles si l'on se restreint à des moyens déterminés.

Son apport pour l'esprit humain est aussi surprenant que le fut la démonstration, au temps de Pythagore, de l'irrationalité de «2. Ainsi, Godel établit que prouver qu'il n'y a pas de contradiction impliquée par les axiomes de l'arithmétique (ceux de Peano) ne peut se faire au moyen de ces seuls axiomes. Il utilise dans sa démonstration une méthode d'arithmétisation qui est certainement appelée à jouer un grand rôle en logique mathématique. Il ruine par son travail le projet de D. Hilbert d'une certaine théorie de la démonstration [4, p.227]. En 1934, le septième problème de Hilbert est vaincu. Lors du congrès des mathématiciens tenu à Paris en 1900, David Hilbert avait pris le soin et le risque de dresser une liste de problèmes mathématiques non encore résolus auxquels le XXe siècle devrait en mesurer. Cette liste a naturellement excité les esprits et chaque problème dûment numéroté a fait l'objet de travaux de par le monde. Le septième problème consiste à étudier la nature d'un nombreÙ lorsque á et â sont des nombres algébriques, c'est-à-dire des solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers.

Le mathématicien russe A.O.G. Gelfond a pu établir que si â est irrationnel (á différent de 0 et 1), alors le nombre Ù ne pouvait pas être algébrique (on dit qu'il s'agit d'un nombre transcendant). M. Morse met au point un calcul de variations global : toute fonction indéfiniment différentiable peut être approchée uniformément par des fonctions n'ayant que des points critiques (isolés) et non dégénérés [4, p.227]. En 1941. I. M. Gelfand constitue la théorie des algèbres normées, qui lie algèbre et topologie et renferme celle des opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert dont se servent les physiciens atomiques depuis l'intervention de la mécanique ondulatoire formalisée par Schrödinger [4, p.227]. En 1959. M. Nagata résout négativement le 14ème problème de Hilbert sur les générateurs finis d'un anneau de fonctions rationnelles [4, p.292]. En page 293, on retrouve les résultats suivants. En 1963, l'Américain Paul Cohen, poursuivant les résultats de Kurt Godel, établit que l'axiome de choix et l'hypothèse du continu sont indépendants de la théorie des ensembles.

Ils peuvent être rajoutés, ou niés, sans contradiction ajoutée à la théorie [4, p.293]. En 1972, René Thom publie stabilité structurelle et morphogenèse. Une nouvelle articulation s'instaure entre mathématiques et monde réel [5, p.293]. En 1982. R. Griess construit un groupe simple irrégulier : le «monstre» [4, p.293].

Les premiers pas de l'informatique

En 1925, la statistique s'affirme. Sir Ronald Fischer donne une théorie mathématique de l'estimation qui permet de fournir une description d'une «population», de la connaître, à partir d'observations statistiques. Dans ce schéma, une population joue tout simplement le rôle d'une urne dans la théorie du hasard [4, p.226].

A Paris, M. Stoetzel, spécialiste en «doxométrie» organise actuellement les services de sondage d'opinion au Service national des statistiques [4, p.266]. A la question de, peut-on concevoir des machines qui pensent ? Le jeune mathématicien A.M.Turing a imaginé une «machine», c'est-à-dire un modèle abstrait de toutes les machines appelées à traiter de l'information, dont la structure serait universelle [4, p.227]. En juillet 1941. Il semble qu'un grand projet mobilise l'énergie des savants américains. Le Manhattan Engineering District s'est assuré le concours des laboratoires de Columbia, Chicago et Berkeley pour étudier la séparation des isotopes de l'uranium.

Un jeune mathématicien R. Oppenheimer, joue, semble-t-il, un rôle important dans ce projet [4, p.265]. En 1943, A.M.Turing et ses collaborateurs construisent le Colossus, machine logique constituée d'éléments électroniques, au centre de recherche de Bletchley en Angleterre [4, p.266]. L'année suivante de 1944, J. von Neumann et O. Morgenstern publient une théorie mathématique des jeux et du comportement économique. Ils ont médité ce livre à l'occasion de l'effort de guerre américain auquel Von Neumann a été associé [4, p.266]. En 1976, K. Appel et W. Haken ont résolu le problème des quatre couleurs : toute carte peut être colorée avec au plus quatre couleurs sans que deux régions voisines aient la même couleur. Ils ont fait appel à l'ordinateur pour réduire certaines situations [4, p.293].

Conclusion

Le calcul mental peut être défini comme l'art d'effectuer de «tête» des opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication…), sans écrire les nombres qui y interviennent, ni utiliser aucun moyen matériel susceptible ou pouvant aider la mémoire. C'est en général une activité de l'esprit des écoliers. Taton [5] traite du calcul mental. Comme l'ont montré de récents progrès de la logique, en particulier dans l'informatique mais aussi dans les mathématiques pures, de nombreux concepts apparemment sans ambiguïté sont en dernière analyse paradoxaux (par exemple calculabilité, démonstratibilité, cohérence, probabilité) [6, p.29].

L'histoire sérielle est l'histoire qui cherche le fait répété, qui privilégie la série, qui pourchasse systématiquement le matériau pré-statistique brut. Elle se définit à la fois comme antérieure, pré-statistique et plus complète. Elle interroge le passé pour comprendre le présent. Elle se vaut utile. Elle n'est pas un sous-produit des mathématiques.

*Universitaire

Références

1. Pierre Philippe. Tchécoslovaquie. «Petite planète». Editions du Seuil, 1966.

2. Ali Derbala. De la culture mathématique supérieure. Le Quotidien d'Oran. Débat. Dimanche 10 avril 2016, p.06.http://www.lequotidien-oran.com/index.php?news=5227486

3. Jonathan Black. L'histoire secrète du monde.

J'ai lu, éditions Florent Massot, 2009.

4. Science & Vie, Hors-Série, N°166-Mars 1989. 200 ans de science, 1789-1989.

5. René Taton. Le calcul mental. Que sais-je ? ¹ 605, PUF, 1971.

6. Paul Watzlawick. La réalité de la réalité. Confusion, désinformation, communication.

Traduit de l'anglais par Edgard Roskis. Editions du Seuil, 1984.